有一张新冠时期的经典图表，我总是很难找到，它恰好说明了身处其中时预测 S 曲线有多难。在早期，一切看起来都像是指数级爆发，你总会看到那种煽动性十足的文章——“你，你这个大笨蛋，根本不懂什么叫指数增长，让我来给你解释一下”。而当增长触及无形的渐近线、逐渐趋平时，那些写爆款文章的高调声音又都悄然转向了别的话题。

总之，下面这张推文截图远不足以展现它的精妙，你应该去看视频版：https://vimeo.com/408599958 或 https://x.com/clcrozier/status/1251148890595708938

作者是 Constance Crozier，她当时还配了一篇博文。全文转载如下，方便搜索引擎抓取：

预测 S 曲线很难

S 曲线（或称 S 型函数）常被用来模拟社会或生物系统随时间的演变 [1]。这类函数起初呈指数增长，随后线性增长，最后趋于平稳（因此整体看起来像一个歪歪扭扭的 S）。我们以为是指数函数的事物，很多实际上都会遵循一条 S 曲线（否则系统早就趋向无穷大了）。一个著名的例子是新技术的普及。下图展示了美国成年人中拥有智能手机的人口比例随时间的变化，图中叠加了一条拟合度最高的 S 曲线。在这个例子中，指数增长源于宣传和供给的逐步铺开。然而潜在用户数量毕竟有限（其中有些人永远不会拥有智能手机），因此增速会逐渐放缓至零。

美国智能手机普及率 [2]

另一个例子——也是这类曲线重新成为新闻焦点的原因——是疾病的传播。在这种情况下，指数增长发生在病毒刚刚出现、大多数接触者尚未产生免疫力的时候；而趋于平稳则是因为病毒不再能遇到易感人群（无论是由于“群体免疫”还是对感染者的隔离）。下图显示了 2003 年中国 SARS 死亡人数，同样叠加了拟合度最高的 S 曲线。

中国 SARS 死亡人数 [3]

S 曲线只有三个参数，能如此好地拟合各种系统，或许令人印象深刻。概括来说，这三个参数分别描述了初始增长率、趋稳速率以及最终的稳定值。因此，只要能估计出这三个数字，就能得到趋势曲线。我们很多人上学时都学过，要确定三个参数，需要三个数据点。这似乎意味着，仅凭三个观测值就能完美预测最终的稳定点（剧透一下：做不到）。

实际上，虽然我们可以说数据的总体趋势很可能符合某条 S 曲线，但单个数据点并不会都恰好落在曲线上。从前面的两个例子就能看出这一点。这种偏差通常被称为“建模误差”，它既包括数据测量上的误差，也包括 S 曲线模型本身从根本上就是错的这一事实。用 George Box 的话说，“所有模型都是错的，但有些是有用的”。

凭直觉就能明白，想仅凭早期数据就预测整条曲线是不可能的；如果真能做到，就等于认定我们无法改变结果。不过就我的经验而言，“直觉”和“数学”往往很难调和。因此，我决定研究一下，随着数据的增多，“最佳拟合 S 曲线”会如何变化。下面是我随机选定的一条 S 曲线。图中显示的是“带噪声的观测值”——用更数学化的说法，就是“在曲线上叠加了随机误差后得到的点”。

在这个例子中，S 曲线模型是完全吻合的——这些数据本来就是我用一条 S 曲线生成的。这意味着，如果误差为零，我们只需要三个点就能找到这条曲线。换句话说，这个例子是理想化的——现实中几乎不可能有一条曲线能如此完美地拟合数据。下方的动画展示了随着数据逐步增加，通过最小二乘优化得到的最佳拟合 S 曲线是如何变化的。

在指数增长阶段估计效果很差，这或许并不令人意外，但即便到了线性阶段（已有 40 多个数据点时），也依然没有找到正确的曲线。事实上，只有当数据开始趋于平稳时，才最终找到了正确的 S 曲线。而更棘手的是，你往往很难判断自己正处于曲线的哪一段；事后回看当然一目了然。

这并不是说建模或预测 S 曲线是不可能的。只是说，你很可能需要关于所建模系统的背景信息。对于生物系统，是否存在决定初始增长率的物理参数？对于技术变革，能否合理估计最终的稳定值？这些信息都取决于具体的应用场景。换句话说，像我这样的数据爱好者，还是应该把建模的工作交给专业人士。

参考文献

[1] Nieto et. al, “Performance analysis of technology using the S curve model: the case for digital signal procession technologies” 1998.

[2] Comscore Whitepaper: ‘The 2016 U.S. Mobile App Report”, September 13, 2016

[3] World Health Organisation https://www.who.int/csr/sars/country/en/

我在 4 年前曾在 https://www.latent.space/p/ok-foomer 中引用过它，最近为了写 https://www.latent.space/p/wtf2025 又一度很难找到。根据我的“三振出局”原则，是时候专门写篇博客把它记录下来了，尤其是因为她的个人网站现在已经打不开了。