数学是想象、是可视化、是直觉。符号不过是用来解释头脑中图像的一种语言——就像乐谱。你可以通过练习来训练直觉、培养可视化能力。数学是一种增强人类认知的内在工具，更接近心理学。

如果我们教孩子音乐的方式，只是丢给他们乐谱去破译——却从不让他们听一听音乐实际演奏出来是什么样子——那么音乐就会像数学一样，被所有人厌恶。

直觉是数学的灵魂。

没有人真正知道该如何定义数学。

通过学习数学，你可以学会如何将视觉直觉转化为严谨的证明。
这永远不会是一次完美的转化。
表达一个简单的直觉需要大量的文字。
在脑海中，一切似乎都那么清晰。
但一旦你开始落笔，它就变得技术化而复杂。

无穷有许多种不同的大小，并且都可以被精确地描述。

我周围的每个人似乎都比我更擅长数学。
我想知道如何去做真正的数学、困难的数学。
但我所能学会的，只有简单的数学。
这不过是一种视觉错觉。
地平线随着我一起移动——始终停留在我的高度。
当你学会一个魔术戏法，它就不再神奇了。
这或许令人伤感，但你最好习惯它。
如果你觉得自己已经理解的数学太简单，那不是因为它简单，而是因为你已经理解了它。

他并不真的去读书记载的内容。
他更喜欢专注于“字里行间的思想”。
一旦他有了清晰的想法，形式化的体系和所有技术细节突然就显得无用而多余：
“当想法清晰时，形式化的设定通常是不必要且多余的。我常常觉得，与其去弄懂作者到底写了什么，不如我自己把它写出来更容易。”
“这就像一台附带16页说明书的新烤面包机：如果你已经了解烤面包机，而且这台机器看起来和你以前见过的差不多，你可能会直接插上电试试能不能用，而不是先去读说明书里的所有细节。”

你具备通感的能力。
看到“巧克力”这个词，你能感受到某种声音、颜色、味道吗？
看到“999,999,999”，你会产生某种宏大的感觉吗？
要意识到自己的通感能力，并尝试系统地去培养它。
秘传的数学是一种心智瑜伽，其目标是重新掌控我们的通感能力。

数学是一种感官的、肉身的体验，它位于语言的上游。

你创造力和想象力的品质，源于你注意力的品质，源于你对万物之声的倾听。

设想你坐在客机的驾驶舱里，或是核电站的控制台前：
眼前有大量的按钮和屏幕，但你完全不知道它们如何运作，又极度害怕犯错。
你很想知道这一切是如何工作的，但你并不知道。
正常的反应是坐在原地，什么也不碰。
在采取任何行动之前，你需要先研究、思考。
但如果你把一个两岁的孩子放到驾驶座上，他们的举动会完全不同。
他们会去按所有的按钮，先从红色或闪烁的那些开始。
要像那个两岁的孩子一样行动。
当你想理解某件事时，就要像孩子那样，毫不犹豫地直面它。
不要等到理解了才开始动手。
不假思索地去行动，带一点随意的莽撞。

叩问万物、倾听万物之声，意味着尝试去想象它们，审视在你内心形成的心理图像，设法让这些图像凝固并变得更清晰，努力去揭示越来越多的细节，就像你试图回忆一个梦境时那样。

去搜集那些你还看不见的事物的信息是毫无价值的。
相反，要允许自己立刻去想象这些事物，不要等待。
即便你很清楚这可能行不通，而且你的心理图像很可能会大错特错。
不要害怕失败。
甚至要确信自己一定会犯错，而这恰恰就是你在寻找的东西。
要主动去寻找错误，就像年幼的孩子主动去寻找恶作剧一样。

每当你发现某种怪异或引人好奇的、不清晰或不令人满意的、不连贯或令人不适的东西，那就是你开始挖掘的地方。
发现错误是一个关键时刻，一个富有创造性的时刻，在一切发现的工作中皆是如此。
那是我们对所审视之物的认知被突然更新的时刻。

对犯错的恐惧与对真相的恐惧是一回事。
害怕犯错的人无力发现任何新事物。

学习如何去看、去行走、去用勺子、去系鞋带、去说话、去读写，始终关乎对大脑的重塑。
而且这从来都不是一蹴而就的。
孩子们只有在尝试与失败之后，才学会走路。
他们需要摔倒，才能学会站立。
正是错误的积累，让他们得以发展出对平衡的直觉。

逻辑并不能帮助你思考。
它能帮你发现自己在哪里想错了。

对你而言显而易见之事的书面记录，可能会比你在脑海中为自己做的概括长上10倍、100倍、1000倍。
即便如此，你仍不得不舍弃一大堆你根本没耐心写下来的细节。
想象一下你系鞋带时的动作。
现在拿起纸笔，试着精确地描述每一个动作，让一个完全的新手能够按照你的指示操作并得到同样的结果。

数学上的理解，就是在内心为一个形式化定义创造出正确的心理图像，
把这个定义变成某种直观的东西，
去“感受”它真正在谈论什么。

数学家把逻辑和语言当作学习如何去看的工具。

如果你从未学会在多维中思考，你就错过了人生的一大乐趣。
就像你从未见过大海，或从未吃过巧克力一样。

当你看照片时，你会有一种真的看到了三维场景的感觉。
这不需要任何特别的努力。
也不会让你感到疲惫。

将数学定义转化为心理图像是如此重要。
当你无法想象数学对象时，你就并没有真正理解它们。

第四维可以是你想让它成为的任何东西。
当你在二维平面上做几何时，一个点由两个坐标决定，通常称为x和y，它们可以精确地代表你想让它们代表的任何事物。
在十维空间中，一个点由十个坐标决定，通常称为x1……x10。
如果你想让这些坐标代表某种东西，它可以是任何你想要的东西。
如果你想描述一个入侵兔群的地理扩张，你就需要以四维来思考，因为你需要四个坐标：经度、纬度、时间和种群密度。

数学表述的唯一功能是帮助你生成心理图像，只有这些图像才能导向理解。
一旦你拥有了正确的心理图像，其他一切都会变得清晰。

数学直觉是如此平庸、简单而愚拙，以至于你需要极大的自信才不会把它丢进垃圾桶。

再教育的训练基于对相同想象练习的重复。
进步是缓慢的，因为身体需要时间来完成自我转化。
你只需要坚持规律的训练计划。

五维形状很难可视化——但这并不意味着你无法思考它们。
思考其实就等同于观看。
对数学家而言，“看见”意味着以一种迅速而直观的方式直接思考，无需反思，就好像对象真的存在，就在你眼前一样。

心智可塑性的本质在于将大胆转化为能力。
这个过程缓慢而无形，起初成功似乎遥不可及。
这就是我们学习机制的生物学现实。
不幸的是，这也恰恰是让人气馁的完美配方。
你需要极强的自制力和自信，才能投身于一个令人困惑、缓慢而又不确定的过程。

试着去回忆你的梦，去为那在你口中留下奇异味道的转瞬即逝的印象赋予言语，去梳理你最混乱、最矛盾的想法。

我脑海中那些愚蠢的图像，一旦我努力去描述和命名它们，一旦我养成了倾听直觉与逻辑之间不谐和音的习惯，就有了自我修正的倾向。

如果我的直觉告诉我选A，而理性告诉我选B呢？
我会对自己说，这里头有问题，我还没准备好做决定。
那正是需要借助一系列内省和冥想技巧、在直觉与理性之间建立对话的时刻。
具体来说，这意味着什么呢。
当我的直觉告诉我选A而理性告诉我选B时，我会把自己置于裁判的位置。
我强迫自己把直觉翻译成语言，像讲一个简单易懂的故事那样讲述出来。
反过来，我尝试去想象逻辑推理实际在表达什么，在身体中去体验它，去听见它试图说什么。
我会问自己是否真的相信它。
目标是弄清楚问题究竟出在哪里。
最后，几乎总是我的直觉获胜。
当我迫使它去倾听逻辑在说什么时，它会将其纳入考量并调整自己的立场。
逻辑是某种惰性的东西，就像一颗鹅卵石。
我的直觉是有机的，它是活的、会生长的。
我个人无法违背自己的直觉去思考，而且我严重怀疑那些声称自己能做到的人是否真诚。

当我能够指出自己直觉中的一个错误时，我知道这是好消息，因为这意味着我的心理表征已经在重构的过程中。

你可以重新编程你的直觉。
直觉与理性之间的任何错位，都是在内心创造一种新的观看方式的机会。
不要指望一切会立刻、实时地发生。
发展心理图像意味着重组神经元之间的连接。
这个过程是有机的，有其自身的节奏。
不要强迫它。
只需从你已经理解的、已经能看见的、觉得容易的东西出发，尽情把玩它。
尝试直观地去解释那些你本会写下来的计算。
如果有帮助，就在纸上随手涂画。
随着时间和练习，这种活动会增强你的直觉能力。
你可能感觉不到自己在进步，直到有一天，正确答案突然变得显而易见。

没有什么东西天生就是反直觉的。
某件事之所以反直觉，永远只是暂时的，直到你找到让它变得直观的方法。
向他人解释某件事，就是提出让它变得直观的简单方法。

每当我们练习某项特定活动时，我们就是在让我们的系统1习惯该活动的特性。

通过告诉我们存在某种“技巧”，他给我们传递了错误的信息。
根本不存在什么技巧。
过去没有，将来也不会有。
相信技巧的存在，就像相信存在天生反直觉的真理一样，是有毒的。

迷信：这种认为我们的直觉一文不值、认为我们必须机械地套用那些自己并未完全理解的方法的信念。

事情在我们不理解的情况下奏效，这种情况确实会发生。
但这始终是一种暂时的状态，只是在等待一个解释。
相信技巧存在，就等于接受这样一种观念：有些东西你永远无法理解，只能靠死记硬背。

每当有人跟你谈论“技巧”时，他们其实是在告诉你，要在恰恰开始变得有趣的时刻停止思考。

数学是想象的科学。
想象力真正的敌人，是阻碍理解、让我们觉得自己像个傻瓜的恐惧。

笛卡尔将自己置于官方知识的对立面。
他生活在一个真理仍与权威混为一谈的世界：真理就是传统，就是书本上写着的东西。

要认真对待怀疑。
每个人都能从笛卡尔式的怀疑中获得个人的益处。

你只能凭直觉去怀疑。
所有的笛卡尔式怀疑都是发自内心的。
怀疑是个人化的、亲密的。

怀疑，就是对一个论点嗅一嗅，感觉到有些不对劲。
就是允许自己发问：“什么？真的吗？”
怀疑某件事，就是能够想象出一种即便看似不太可能、却能使该事不成立的情境。
不仅要怀疑他人所说的一切，更要怀疑——尤其是——你自己的确信。
笛卡尔式怀疑是一种重塑直觉的通用技术。
怀疑是一种心智澄明的技术。
它服务于建构，而非破坏。

喜欢被人反驳的傲慢之人？
被你证明错了反而微笑的炫耀者？
随时准备在转瞬间改变主意的教条主义者？
这种奇特的态度，我只在非常优秀的数学家身上见过。

要是数学家的心智活动能够被看见该多好。
失去了模仿的可能，我们也失去了欲望的主要驱动力。
当你还是个孩子时，没有人需要让你想去骑自行车。
没有人需要说服你这对你未来的人生会有好处，或是会让你的简历更好看。
你看到其他孩子在骑车。
你喜欢它，你也想这么做。

转录我的梦境：
由于我努力去记住它们并用言语表达出来，我的梦变得愈发丰富而精确。
每一个梦都有完整的故事和足以写满许多页的细节。
我并不是在其中寻找意义。
我只是想掌握将它们记录下来的艺术。
对我而言，这就是写作的本质。
从图像和感受出发，寻找一种用言语将其呈现的方式，使其变得清晰而实在。
转录情境、其中的利害关系——捕捉情绪、音乐、气味、质感。
如果你能做到这一点，你就能做到任何事。
这是一种通过练习培养的能力。
有入门的技巧，也有精进的技巧。
你越是忠实地学会转录你所看见的东西，你就看得越多。

入睡前那种特殊的精神状态：
对于萦绕在我心头的主题，我让自己被它们填满。
漫无目的地凝视它，几乎就像做梦一样。
我尝试回忆我曾睡过的所有房间。

要练习切换视角，一个不错的练习是：
1.
在你周围任意选择一个参照点，例如房间里与你相对的角落，或是你在街上行走时一栋房子的窗户。
2.
试着想象如果你从这个参照点朝你所在的方向看去，你会看到什么。

创造力产生于我们强迫自己持续注视那些令我们畏惧的事物，直到它们最终变得熟悉而显而易见。

我们的福祉取决于我们所做的许多难以用智性方式解释的事情。
单靠理性很可能会让你误入歧途。
我们中没有人聪明睿智到足以完全靠理智弄清楚这一切。

当有人提出一种推理，其中一切都过于天衣无缝地契合时，就要怀疑其中有些不对劲。
在某些情况下，理性会让你偏离真相。
你可以将数学家使用的方法运用到数学之外。
但当我们在数学之外使用它时，需要小心：只有在数学内部，这种方法才能产生不可动摇的真理。
通过将我们的信念锚定在无可争议的证据和严谨的推演之上，我们可以将其转变为确信，随着时间的推移，这些确信会变得像钢筋混凝土一样坚固。
只不过，有时这些确信是错误的。

鸡与蛋的谜题据说向我们呈现了一个“悖论”。
一种人类理解力无法逾越的高墙，我们在它面前除了俯首别无选择。
成为悖论永远只是一种暂时的状态，在等待被解决。
将一个问题在结构上呈现为悖论，不过是一种故作高深的说法，意思是你解决不了它。
然而，这种解决谜题的方式，却回避了它最令人困扰的方面：
为什么一开始会有这个谜题？
怎么会从一个无可争议为真的假设出发，遵循一段无可争议为正确的推理，却得出一个无可争议为假的结论？
语言在结构上与逻辑推理是不相容的，我们永远无法对以人类语言表述、并通过演绎逻辑得出的真理拥有百分之百的确定性。

理性应该被用作向导，而非最终的审判者。

当我们说某件事是“真的”时，我们从来不是字面意义上的意思。
我们使用这个词，始终只是作为所有这些其他事情的捷径，因为否则我们就根本没有机会使用它。

在承认我们语言内在局限性的过程中，维特根斯坦实现了伟大的哲学突破之一：
他打破了由形而上学主导的、绵延数千年的传统，在这一传统中，哲学家们相信有可能运用理性去攻克问题

数学是一种内在工具。
它的主要目的是增强人类的认知。
对数学概念形成直观而熟稔的理解，会拓展我们对世界的直观理解。
你所理解的数学增强了现实，并增添了一层可理解性。

没有数字，
没有你对三维空间中点与轨迹的感知，
没有x和y，
没有距离、速度与加速度的概念，
没有概率，
……你周围的整个世界会突然变得如此模糊而不稳定，让你感觉自己仿佛被做了脑叶切除手术。

在19世纪，仍有严肃的数学家声称负数不过是天方夜谭。
在16世纪，即便是它们的支持者也将其称为荒谬的数。
自那以后，就好像现实本身已经改变了。

实际上，数学与硬科学并没有太大关联。
它更接近心理学，算是心理学一个深奥而应用性的分支。

理解数学就是重塑你的直觉。
这是一个神经可塑性的问题。

我们恰恰是在强迫自己去想象那些尚未理解的事物时，才得以学习。