有一張很有名的 Covid 時期圖表，我每次都找不到，它說明了在親身經歷 S 曲線時要估計它有多困難。初期看起來一切都像是呈指數爆炸成長，你總會看到一些譁眾取寵的文章，內容不外乎：你這個笨蛋，你根本不懂什麼叫指數成長，讓我來解釋給你聽。然後當成長碰到看不見的漸近線時，那些寫爆紅文章、大聲嚷嚷的人，又很巧妙地轉去談別的事情了。

總之，光看下面的推文圖片無法完整呈現，你應該去看影片版本：https://vimeo.com/408599958 或 https://x.com/clcrozier/status/1251148890595708938

作者是 Constance Crozier，她為此寫了一篇部落格文章。為了方便 Google 爬蟲，以下是全文：

預測 S 曲線很難

S 曲線（或稱 sigmoid functions）常用來模擬社會或生物系統隨時間的演變 [1]。這類函數一開始呈指數成長，接著線性增加，最後趨於平緩（因此看起來像一個歪歪扭扭的 S）。許多我們以為是指數函數的東西，實際上會遵循 S 曲線（否則系統就會膨脹到無限大）。一個有名的例子是新科技的採用。下圖顯示了美國成年人擁有智慧型手機的比例隨時間的變化，上方疊加了一條最佳擬合的 S 曲線。在這個例子中，指數成長之所以出現，是因為宣傳與供給逐步推展。然而，潛在消費者數量有限（其中有些人永遠不會擁有智慧型手機），因此成長會逐漸趨緩至零。

美國智慧型手機持有率 [2]

另一個例子，也是這類曲線再次成為新聞焦點的原因，就是疾病的傳播。在這種情況下，指數成長發生在病毒剛出現時，此時大多數接觸到病毒的人都尚未產生免疫力。趨於平緩則是因為病毒不再遇到未具免疫力的人（無論是因為「群體免疫」還是對感染者的隔離）。下圖顯示了 2003 年 SARS 疫情在中國造成的死亡人數，同樣疊加了一條最佳擬合的 S 曲線。

中國 SARS 死亡人數 [3]

S 曲線只有三個參數，因此它能如此吻合各種不同的系統，或許令人印象深刻。廣義來說，這三個參數分別描述了初始成長率、趨緩速率，以及最終趨於平緩的數值。因此，如果你能估計出這三個數字，就能得到趨勢曲線。我們許多人在學校都學過，如果有三個參數待求，就需要三個資料點來定義函數。這似乎暗示只要有三個觀測值，就能完美預測最終的平緩點（爆雷：辦不到）。

實際上，雖然我們可以說資料的整體趨勢很可能符合某條 S 曲線，但個別的資料點並不會全部落在曲線上。這在前面兩個例子中都能看到。這種差異通常被稱為「模型誤差」，它既包含了資料量測上的誤差，也包含了 S 曲線模型本身根本上就是錯的事實。引用 George Box 的一句話：「所有的模型都是錯的，但有些是有用的。」

直覺上，我們應該無法僅從早期資料就預測出整條曲線；如果認為可以，就等於相信我們無法影響結果。然而，以我的經驗來說，「直覺」和「數學」往往很難調和。因此，我決定來研究隨著更多資料出現，「最佳擬合 S 曲線」會有多大的變化。下面是一條我隨機選取的 S 曲線。圖中顯示的點是「帶有雜訊的觀測值」——用比較數學的說法，就是「在曲線上的點再加上隨機誤差」。

在這個例子中，S 曲線模型是完全吻合的——我真的是直接從一條 S 曲線產生這些資料。這意味著如果沒有誤差，我們只需要三個點就能找出這條曲線。說這麼多，是想說明這個例子非常理想——在現實中，不太可能有一條曲線能如此完美地擬合資料。下面是一段動畫，展示了隨著更多資料出現，透過最小平方法（least squares）最佳化所找到的最佳擬合 S 曲線如何變化。

在指數成長階段估計非常不準，或許並不令人意外，但即使進入線性階段（已經有 40 多個資料點時），也仍然找不到正確的曲線。事實上，要等到資料開始趨於平緩時，才找得到正確的 S 曲線。這特別令人困擾，因為要判斷自己正處於曲線的哪一段，本來就相當困難；事後諸葛總是比較容易。

這並不是說 S 曲線就無法建模或預測。只是說，你很可能需要關於所建模系統的脈絡資訊。對於生物系統，是否有支配初始成長率的物理參數？對於科技變遷，能否合理估計最終的平緩值？這些資訊都因應用而異。換句話說，像我這樣的資料愛好者，應該把建模的工作留給專業人士。

參考文獻

[1] Nieto et. al, “Performance analysis of technology using the S curve model: the case for digital signal procession technologies” 1998.

[2] Comscore Whitepaper: ‘The 2016 U.S. Mobile App Report”, September 13, 2016

[3] World Health Organisation https://www.who.int/csr/sars/country/en/

我在 4 年前曾在 https://www.latent.space/p/ok-foomer 引用過這篇文章，最近為了寫 https://www.latent.space/p/wtf2025 又想找回來，卻怎麼也找不到。按照我的三振出局原則，是時候把它寫成一篇部落格了，特別是因為她的網站現在打不開。