數學是想像、視覺化與直覺。符號只是一種用來說明腦中圖像的語言——就像樂譜。你可以透過練習來訓練直覺、培養視覺化的能力。數學是一種強化人類認知的內在工具，更接近心理學。

如果我們教孩子音樂的方式，是直接丟給他們樂譜去解讀——卻從來不讓他們聽聽音樂實際演奏起來是什麼樣子——那麼音樂就會像數學一樣，被所有人討厭。

直覺是數學的靈魂。

沒有人真的知道該如何定義數學。

透過學習數學，你可以學會如何將視覺直覺轉化為嚴謹的證明。
這永遠不會是完美的轉譯。
要用一大堆文字，才能表達一個簡單的直覺。
在你腦海裡，一切看起來都那麼清晰。
但一旦你開始把它寫下來，就變得技術性又複雜。

有許多不同大小的無限，可以被精確地描述。

我身邊的每個人似乎都比我更會數學。
我想知道該如何做真正的數學、困難的數學。
但我所能學到的，就只有簡單的數學。
那只是一種視錯覺。
地平線隨著我一起移動——永遠停留在與我同樣的高度。
當你學會一個魔術手法，它就不再神奇了。
這或許有點感傷，但你最好習慣它。
如果你覺得自己已經懂的數學太簡單，那不是因為它真的簡單，而是因為你已經懂了。

他並不是真的在讀書裡寫了什麼。
他更喜歡專注於「字裡行間的思想」。
一旦他有了清晰的想法，形式化的架構和所有的技術細節突然就顯得多餘而瑣碎：
「當想法清晰時，形式化的設定通常是不必要且多餘的。我常常覺得，與其去弄懂作者到底寫了什麼，不如我自己寫出來還比較容易。」
「就像一台附有十六頁說明書的新烤麵包機：如果你已經懂烤麵包機，而且這台看起來跟你以前遇過的差不多，你可能會直接插上電試試看它能不能動，而不是先把說明書的每個細節都讀完。」

你擁有聯覺的能力。
看著「巧克力」這個詞，你能感受到聲音、顏色、味道嗎？
看著「999,999,999」，你會感受到某種龐大的感覺嗎？
去意識到自己的聯覺能力，並試著有系統地培養它。
秘密的數學是一種心智瑜伽，其目標是重新掌控我們的聯覺能力。

數學是一種感官的、肉身的體驗，它位於語言的上游。

你的創造力與想像力的品質，來自於你專注的品質，來自於你傾聽萬物之聲的能力。

你發現自己坐在客機的駕駛座上，或是核電廠的控制室裡：
眼前有好多按鈕和螢幕，但你完全不知道它們怎麼運作，又極度害怕犯錯。
你很想知道這一切是怎麼運作的，但你就是不懂。
正常的反應是乖乖坐著，什麼都別碰。
在採取任何行動之前，你需要先研究、好好想一想。
但如果你把任何一個兩歲小孩放到駕駛座上，他們的反應會完全不同。
他們會把所有按鈕都按一遍，從紅色的或閃爍的開始。
要像那個兩歲小孩一樣行動。
當你想理解某件事，就直接衝上去，毫不猶豫，就像孩子那樣。
別等到懂了才開始。
不假思索地行動，有點莽撞也沒關係。

質問萬物、傾聽萬物之聲，意味著試著去想像它們，檢視在你內心形成的心理圖像，試圖讓這些圖像更穩固、更清晰，努力去揭露越來越多的細節，就像你試圖回想一個夢境時那樣。

去蒐集那些你還看不見的事物的資訊，是毫無價值的。
相反地，讓自己馬上就去想像那些事物，不必等待。
即使你很清楚那可能行不通，而且你的心理圖像很可能會錯得離譜。
不要害怕失敗。
甚至要確信自己一定會犯錯，而那正是你在尋找的東西。
要主動去尋找錯誤，就像年幼的孩子主動尋找惡作劇的機會一樣。

每當你發現某個奇怪或引人好奇、模糊或不令人滿意、不連貫或令人不快的地方，那就是你開始挖掘之處。
發現錯誤是一個關鍵時刻，一個充滿創造力的時刻，是所有發現工作中的關鍵時刻。
那是一個我們對正在檢視的事物的認識突然被更新的時刻。

對犯錯的恐懼與對真相的恐懼，其實是同一回事。
害怕犯錯的人，無法發現任何新事物。

學習如何看、如何走路、如何使用湯匙、如何綁鞋帶、如何說話、讀寫，永遠都是在重新配置你的大腦。
而且從來不是一次就完成。
孩子不是試過、失敗過之後才學會走路的。
他們需要跌倒，才能學會站起來。
正是錯誤的累積，讓他們得以發展出對平衡的直覺感受。

邏輯並不能幫助你思考。
它能幫你找出你哪裡想錯了。

對你而言顯而易見的事物，其書面轉錄可能會比你在腦中為自己做的摘要長上十倍、百倍、千倍。
即便如此，你還是得省略一大堆你懶得寫下來的細節。
想像一下你綁鞋帶時的動作。
現在拿起紙筆，試著精確地描述每一個動作，讓一個完全的新手也能照著你的指示做出同樣的結果。

對數學的理解，就是在自己內心為一個形式化定義創造出正確的心理圖像，
把這個定義轉化為直覺的東西，
去「感受」它真正談論的是什麼。

數學家把邏輯與語言當作學習觀看的工具。

如果你從未學過如何用多維度來思考，你就錯過了人生的一大樂趣。
那就像你從未見過大海，或從未吃過巧克力一樣。

當你看照片時，你會有種真的看見了三維空間中場景的感覺。
這不需要任何特別的努力。
也不會讓你感到疲倦。

將數學定義轉化為心理圖像，是如此重要。
當你無法想像數學物件時，你就沒有真正理解它們。

第四維就是你想讓它是什麼，它就是什麼。
當你在二維平面上做幾何時，一個點由兩個座標決定，通常稱為 x 和 y，它們代表什麼完全由你決定。
在一個十維空間中，一個點由十個座標決定，通常稱為 x1...x10。
如果你想讓這些座標代表某種東西，它可以是任何你想代表的東西。
如果你想描述外來兔群的地理擴張，你就需要用四維來思考，因為你會需要四個座標：經度、緯度、時間和族群密度。

數學陳述的唯一功能，就是幫助你產生心理圖像，而只有這些圖像能帶來理解。
一旦你有了正確的心理圖像，其他一切就都清晰了。

數學直覺是如此平庸、簡單、愚蠢，以至於你需要極大的自信，才不會把它丟進垃圾桶。

再教育的工作建立在重複同樣的想像練習之上。
進步緩慢，是因為身體需要時間來改造自己。
你只需要承諾一個規律的訓練計畫。

五維形狀很難視覺化——但這不代表你無法思考它們。
思考其實就等同於觀看。
對數學家而言，「看見」意味著以快速而直覺的方式思考，直接地、不假思索地，就好像那個物件真的存在，就在你眼前一樣。

心智可塑性的本質，在於將大膽轉化為能力。
這個過程緩慢而隱蔽，一開始成功似乎遙不可及。
那是我們學習機制的生物現實。
不巧的是，那也是讓人氣餒的完美配方。
你需要極大的自制力與自信，才能投入一個令人困惑、緩慢又不確定的過程。

試著回想你的夢境，用言語去描述那個在你嘴裡留下奇怪味道的轉瞬即逝的印象，去梳理你最混亂、最矛盾的想法。

我腦中那些愚蠢的圖像，在我努力去描述並為它們命名、養成習慣去傾聽直覺與邏輯之間的不和諧時，往往會自行修正。

如果我的直覺要我選 A，而我的理性要我選 B呢？
我會告訴自己，這裡面有狀況，我還沒準備好做決定。
那正是需要動用一系列內省與冥想技巧的時刻，目的是在直覺與理性之間建立對話。
實際上，這意味著什麼呢。
當我的直覺說 A、理性說 B 時，我會把自己放在裁判的位置。
我強迫自己把直覺翻譯成言語，像講一個簡單易懂的故事那樣說出來。
反過來，我也試著去想像邏輯推理真正在表達什麼，在身體裡去感受它，去聽聽它想說什麼。
我問自己是否真的相信它。
目標是弄清楚哪裡出了問題。
最後，幾乎總是我的直覺獲勝。
當我強迫它去聽聽邏輯在說什麼，它會把那些考慮進去並調整自己的立場。
邏輯是惰性的，像一顆小石子。
我的直覺是有機的，它是活的、會成長的。
我個人無法違背自己的直覺去思考，而且我嚴重懷疑那些聲稱自己做得到的人是否真心誠意。

當我能夠指出自己直覺中的一個錯誤時，我知道那是好消息，因為那意味著我的心理表徵已經在重新配置的過程中了。

你可以重新編程你的直覺。
直覺與理性之間的任何不一致，都是在自己內心創造一種新觀看方式的機會。
別期待一切會立刻、即時發生。
發展心理圖像意味著重組你神經元之間的連結。
這個過程是有機的，有它自己的節奏。
別強迫它。
只要從你已經理解、已經能看見、覺得容易的東西出發，盡情去玩。
試著用直覺去詮釋那些你本來會寫下來的計算。
如果有幫助，就在紙上隨手塗鴉。
隨著時間與練習，這個活動會強化你的直覺能力。
你可能覺得自己沒有進步，直到有一天，正確答案突然變得顯而易見。

沒有任何事物在本質上是違反直覺的。
某件事之所以違反直覺，永遠只是暫時的，直到你找到方法讓它變得直覺。
向他人解釋某件事，就是提出讓它變得直覺的簡單方法。

每當我們練習某項特定活動，我們就在讓自己的系統一習慣於該活動的細節。

透過告訴我們那裡有個「訣竅」，他傳遞了錯誤的訊息。
沒有任何訣竅。
從來沒有，將來也不會有。
相信訣竅存在，就像相信存在本質上違反直覺的真理一樣有害。

迷信：這種認為我們的直覺一文不值、認為我們必須機械式地套用那些我們並未完全理解的方法的信念。

有時事情會在我們不理解的情況下運作。
但那永遠只是一個暫時的狀態，正等待著一個解釋。
相信訣竅存在，就是接受有些東西你永遠不會懂、只能死背下來的想法。

每當有人跟你談「訣竅」，他們就是在告訴你，要在事情開始變得有趣的那一刻停止思考。

數學是想像的科學。
想像力真正的敵人，那個阻礙理解、讓我們覺得自己很愚蠢的東西，是恐懼。

笛卡兒站在官方知識的對立面。
他生活在一個真理仍與權威混為一談的世界：真理就是傳統，就是書上寫的東西。

認真看待懷疑。
每個人都能從笛卡兒式懷疑中獲得個人的益處。

你只能用直覺去懷疑。
所有的笛卡兒式懷疑都是發自內心的。
懷疑是個人且私密的。

去懷疑，就是對一個論點做嗅探測試，並感覺到有些不對勁。
那是允許自己去問：「什麼？真的嗎？」
懷疑某件事，就是能夠想像一個情境——即使看似不太可能——在其中那件事可能是不成立的。
不只懷疑別人說的話，更重要的是，懷疑你自己的確信。
笛卡兒式懷疑是一種重塑直覺的普遍技巧。
懷疑是一種心智澄清的技巧。
它的作用是建構，而非破壞。

喜歡被反駁的自大狂？
當你證明他們錯了還會微笑的愛現者？
隨時準備改變主意的教條主義者？
我只在非常優秀的數學家身上見過這種獨特的態度。

要是數學家的心智活動是可見的該有多好。
在失去模仿的可能性時，我們也失去了欲望的主要驅動力。
當你是個孩子時，沒有人需要讓你想騎腳踏車。
沒有人需要說服你那對你未來的人生有好處，或是放在履歷上會很好看。
你看到其他孩子在騎車。
你喜歡，你也想跟著做。

轉錄我的夢境：
由於我試圖記住它們並用言語表達，我的夢境在豐富度與精確度上都增長了。
每一個夢都有完整的故事，以及足以寫滿好幾頁的細節。
我不是在尋找它們的意義。
我只是想掌握把它們寫下來的藝術。
對我而言，這就是寫作的本質。
從圖像與感受出發，尋找一種用言語將其呈現、使其清晰而紮實的方法。
轉錄情境、其中的利害關係——捕捉氛圍、音樂、氣味、質地。
如果你能做到這點，你就能做到任何事。
這是一種透過練習而培養的能力。
有入門的技巧，也有精進的技巧。
你越忠實地學會轉錄你所見的，你就越能看見。

快要入睡前的特殊心智狀態：
對於那些讓我掛心的題目，我讓自己完全沉浸其中。
不帶目標地凝視它，幾乎像在做夢一樣。
我試著回想自己睡過的所有房間。

要練習切換觀點，一個很好的練習是：
1.
在你周圍隨意選一個參考點，例如房間裡離你最遠的角落，或是走在街上時一棟房子的窗戶。
2.
試著想像如果你從那個參考點望向自己所在的方向，你會看到什麼。

創造力在我們強迫自己持續注視那些讓我們感到畏懼的事物，直到它們終於變得熟悉而顯而易見時，才會湧現。

我們的幸福取決於許多我們難以用理智方式解釋的行為。
光靠理性很可能會把你引入歧途。
我們沒有一個人聰明、有智慧到足以光靠理智就把這一切搞清楚。

當有人提出一套推理，其中每一件事都銜接得太過完美時，要懷疑其中有些不對勁。
在某些情況下，理性會讓你偏離真相。
你可以把數學家使用的方法應用到數學之外。
但當我們在數學之外使用它時，需要小心：只有在數學之內，這種方法才能產生不可動搖的真理。
透過將我們的信念錨定在無可爭議的證據與嚴謹的推論上，我們可以把它們變成確信，隨著時間推移，這些確信會變得像鋼筋混凝土一樣堅固。
只不過，有時這些確信是錯的。

雞生蛋、蛋生雞的謎題被認為呈現了一個「悖論」。
一種人類理解無法逾越的高牆，我們在它面前除了俯首稱臣別無選擇。
成為悖論永遠只是一種暫時的狀態，等待著被解決。
把一個問題結構性地呈現為悖論，只是一種自命不凡的說法，意思是你解不開它。
然而，這種解謎方式卻忽略了它最令人不安的一面：
為什麼一開始會有這個謎題？
怎麼可能從一個無可爭議為真的假設出發，遵循一個無可爭議為正確的推理，卻得出一個無可爭議為假的結論？
語言在結構上與邏輯推理不相容，而我們永遠無法對那些以人類語言表達、並透過演繹邏輯得出的真理擁有百分之百的確定性。

理性應該被當作嚮導，而非最終的裁判。

當我們說某件事是「真的」時，我們從來不是字面上的意思。
我們只是一直把這個詞當作所有這些其他事物的簡稱，因為否則我們就根本沒機會使用它。

在承認我們語言內在的局限時，維根斯坦完成了一項偉大的哲學突破：
他打破了由形上學主導的數千年傳統，在那個傳統中，哲學家們相信有可能運用理性來處理問題

數學是一種內在工具。
它的主要目的是增強人類的認知。
培養對數學概念的直覺而熟悉的理解，會擴展我們對世界的直覺理解。
你所理解的數學擴增了現實，並增添了一層可理解性。

沒有數字，
沒有你對三維空間中點與軌跡的感知，
沒有 x 和 y，
沒有距離、速度與加速度的概念，
沒有機率，
……你周圍的整個世界會突然變得如此模糊而不穩定，讓你覺得自己好像被做了腦葉切除手術一樣。

在十九世紀，仍有一些嚴肅的數學家聲稱負數不過是天方夜譚。
在十六世紀，即使是負數的支持者也將其標籤為荒謬的數。
從那以後，就好像現實本身已經改變了。

實際上，數學與硬科學並沒有太大關聯。
它更接近心理學，是心理學一個有點玄妙、應用性的分支。

理解數學就是重新編程你的直覺。
這關乎神經可塑性。

正當我們強迫自己去想像那些我們尚未理解的事物時，我們才真正學會。