건강이나 장수에 관한 글을 조금만 읽어도 곧 위험비(hazard ratio)의 세계에 빠져들게 된다. 어떤 연구는 식이섬유를 더 먹으면 사망 위험이 HR = 0.90배로 변한다고 말할 수도 있다. 또 다른 연구는 가끔 하는 흡연이 그 위험을 HR = 1.30배로 바꾼다고 할 수도 있다.

그런데 그걸 얼마나 신경 써야 할까? HR = 0.90이나 HR = 1.30이 큰 수치일까? 애초에 식이섬유를 더 먹고 싶지 않다면? 흡연을 좋아한다면 어쩌지?

비율만 뚫어져라 쳐다보는 대신, 더 합리적인 방법은 기대수명을 생각하는 것이다.² 하지만 위험비를 기대수명의 변화로 바꿀 수 있을까? 다음과 같이 추론해 볼 수도 있다: 기본 기대수명은 약 75년이다. 그리고 HR = 0.90은 사망률이 10% 감소한다는 뜻이다. 그렇다면 그 위험비는 기대수명이 7.5년 정도 늘어나는 것에 해당하지 않을까?

안타깝게도 그건 완전히 틀렸다. 왜 그런지 보려면 인간이 오직 러시안룰렛으로만 죽는다고 상상해 보자. 75세부터 매일 두 발의 총알이 든 6연발 리볼버로 게임을 한다. 여기서 총알 하나를 빼면 사망 위험이 HR = 0.5로 떨어진다. (총알 두 개 대 하나.) 하지만 기대수명은 거의 변하지 않는다. 총알이 하나뿐이라도 75세를 크게 넘겨 살아남는 사람은 거의 없기 때문이다.

대조적으로, 역시 인간이 러시안룰렛으로만 죽지만 이번에는 태어날 때부터 매일 54,786개의 약실이 있는 리볼버에 총알 두 발을 넣고 게임을 한다고 상상해 보자. (갓난아기가 태어나자마자 본능적으로 이 거대한 총을 집어 든다.) 이런 사람들도 평균 75년을 산다는 것을 보일 수 있다. 하지만 여기서 총알 하나를 빼면 기대수명이 두 배가 된다. 한 번 살아남으면 다시 운이 나빠질 때까지 오랜 시간이 걸리기 때문이다.³

둘 다 인간을 제대로 설명하는 모델은 아니다. 우리는 그 중간 어딘가에 있다. 리볼버 대신 심장병 등으로 죽고, 위험이 75세에 갑자기 시작되거나 평생 일정하게 유지되는 대신 나이가 들수록 서서히 증가한다. 하지만 요점은 알 것이다: 어떤 중재의 위험비를 기대수명 변화로 바꾸고 싶다면, 그 영향은 기본 사망 위험이 시간에 걸쳐 얼마나 ‘퍼져 있는지’에 달려 있다. 기본 기대수명만으로는 정보가 전혀 부족하다.

이게 한 가지 문제다. 또 다른 문제가 있다: 위험비란 도대체 무엇인가? 기술적인 정의는 대략 다음과 같다:

특정 시점에서의 위험비는 치료군의 사건 발생률을 대조군의 사건 발생률로 나눈 값이다.

위험비는 사랑받는 형제 격인 상대위험도(relative risk)와 자주 혼동된다. 10년짜리 임상시험을 진행했는데 마지막에 대조군의 10%가 사망하고 치료군의 8%가 사망했다고 하자. 그러면 상대위험도는 RR = 0.8로, 깔끔하고 단순하다. 하지만 상대위험도에는 문제가 있다. 가장 두드러지는 문제는 충분히 오래 시험을 진행하면 중재와 관계없이 결국 아무도 살아남지 못하므로 RR = 1.0이 된다는 점이다. 그건 도움이 되지 않는다. 직관적으로, 40세에서의 위험비는 39.99세와 40.01세 사이 사람들에 대한 상대위험도와 비슷하다고 생각하면 된다.

현실에서는 중재마다 나이에 따라 위험비가 다르다. 화학요법은 부작용을 더 잘 견딜 수 있는 젊은 환자에서 더 좋은 결과를 내는 경향이 있다. 약간 높은 BMI(20–25 대신 25–30)는 젊은 사람에게는 사망 위험 증가와 연관되지만 노인에게는 오히려 위험 감소와 연관된다. 2020년을 기억한다면, 코로나19의 사망 위험은 기본 사망률과 다른 연령 곡선을 보였고, 그래서 코로나19 감염의 위험비는 나이에 따라 달랐다.

이게 중요한 이유는 나이에 따른 위험비가 기대수명에 미치는 영향이 다르기 때문이다. 80세에서의 위험비 0.9는 20세에서의 0.9보다 더 많은 사망을 막는다. 기본 사망률이 80세에 더 높기 때문이다. 하지만 동시에 20세의 생명을 구하면 그 사람 앞에 더 많은 세월이 남아 있다. 그뿐만 아니라 나이에 따른 위험비는 서로 상호작용한다: 어떤 중재가 젊은 나이의 사망률을 낮추면 더 많은 사람이 고령까지 도달하게 되고, 이는 고령에서의 위험비가 갖는 중요성을 키운다.⁴

모든 연령에서의 위험비를 안다면 이런 역학을 반영할 수 있을 것이다. 하지만 우리는 모른다. 위험비를 추정할 때 사람들은 거의 항상 위험비가 일정하다고 가정하기 때문이다.⁵ 전체 시계열에 걸친 비율을 추정할 만큼 데이터가 충분하지 않아 어쩔 수 없이 그렇게 한다. 그래서 논문에는 HR = 0.90 같은 단일 숫자가 등장하는 것이다.

그래서 중재 A(이를테면 식이섬유를 더 먹는 것)와 중재 B(이를테면 가벼운 조깅)가 논문에서 같은 위험비를 가질지라도, 그 숫자들은 서로 다른 연령별 효과의 산물일 수 있으며, 이는 그 중재들이 기대수명에 매우 다른 변화를 가져올 수 있음을 의미한다.

그렇다면 이건 모두 희망이 없는 걸까? 단일 위험비 숫자는 우리가 정말 신경 쓰는 것과 너무 동떨어져 있어서 아무 의미 있는 정보도 주지 못하는 걸까?

놀랍게도, 그렇지 않다. 대부분 괜찮다. 우리가 다른 종이었다면 희망이 없었을지도 모른다. 하지만 부유한 국가의 현대인에게 사망률은 일종의 행운의 일치가 일어나도록 분포되어 있다: 사람들이 일정한 위험비 숫자를 추정할 때, 그들은 암묵적으로 대략적으로나마 서로 다른 연령에서의 위험비에 가중평균을 취하고 있는 셈이다. 그리고 그 가중치가 마침 대략적으로나마 서로 다른 연령에서의 사망률 변화가 기대수명을 얼마나 바꾸는지를 반영한다.

그래서 나는 주장하려 한다. 설령 진짜 중재의 효과가 가변적이라도, 논문에서 가져온 위험비를 그냥 가져와 이 곡선을 이용해 기대수명 변화로 바꿔도 대략 대부분 괜찮다는 것이다:

논문에서 식이섬유를 더 먹으면 위험비가 HR = 0.75가 된다고 했다면, 이는 약 3.7년 증가에 해당한다. 논문에서 가끔 하는 흡연이 위험비 HR = 1.25를 만든다고 하면, 이는 약 2.9년 감소에 해당한다.

이건 정확한 수치가 아니다. 중재가 고령자에게 더 좋거나(혹은 덜 나쁘면) 이 방법은 기대수명의 증가를 과대평가(혹은 감소를 과소평가)하는 경향이 있다. 중재가 고령자에게 더 나쁘거나(혹은 덜 좋으면) 기대수명의 증가를 과소평가(혹은 감소를 과대평가)하는 경향이 있다. 하지만 위험비가 나이에 따라 너무 많이 변하지 않는 한, 어느 쪽으로든 30% 이상 크게 빗나갈 가능성은 낮다.

쉬운 경우

어떤 중재(식이섬유를 더 먹는 것 등)가 연령 t에서의 사망 위험을 HR(t)배만큼 곱한다고 하자. 그러면 기대수명의 변화는 대략 다음과 같음을 보일 수 있다

  ΔL ≈ ∑ₜ ΔHR(t) × P(t) × L(t).

여기서 P(t)는 연령 t에 사망할 기본 확률이다. 미국 남성의 경우 다음과 같이 생겼다:

한편, L(t)는 연령 t에서의 조건부 기대수명이다. 연령 t까지 도달한 사람이 앞으로 평균적으로 얼마나 더 살지를 나타낸다. 미국 남성의 경우 다음과 같이 생겼다:

마지막으로, ΔHR(t)는 연령 t에서의 위험 감소분이다. 그냥 ΔHR(t) = 1 - HR(t)라고 생각하면 된다. 로그에 익숙하다면 로그를 이용한 조금 더 나은 근사도 있는데, 각주에 따로 적어 두었다.⁶

쉬운 경우부터 시작해 보자. 중재가 모든 연령에서 사망률에 같은 영향을 미쳐 HR(t)=HR이 그냥 상수라면 어떨까? 그러면 위 식은 다음과 같이 단순해진다

  ΔL ≈ ΔHR × L̄,

여기서

  L̄ = ∑ₜ P(t) × L(t).

이건 말이 된다! 다시 말하지만, P(t)는 연령 t에 사망할 기본 확률이고 L(t)는 연령 t에서의 조건부 기대수명이다. 이들은 상수이므로 모두 더하면 L̄은 그냥 하나의 숫자가 된다. 미국 남성의 경우 그 값이 12.93년이다. 이 수량은 특정한 의미를 가진다: 미국 남성이 사망할 당시의 평균 잔여 기대수명이다. 좀 이상하게 들리지만, 무작위로 한 사망자를 골라 그 나이에 도달한 사람들이 평균적으로 얼마나 더 사는지 묻는다고 생각해 보라. 그 숫자가 12.93년이다.

그래서 중재가 일정한 위험비를 가진다면, 미국 남성의 평균 기대수명 변화는 그냥 다음과 같다

  ΔL ≈ ΔHR × 12.93년.

이제 뭔가 실마리가 보인다! 사망의 일정 비율 ΔHR을 막는다면, 기대수명은 ΔHR에 12.93년을 곱한 만큼 증가한다.

이제 우리가 처음에 했던 단순한 계산을 기억해 보자: 미국 남성의 기대수명은 75.8년이다. 식이섬유를 더 먹어 사망 위험이 10% 떨어지면 7.58년을 벌 수 있을 거라 기대할지도 모른다. 안타깝게도 위 식에 따르면 위험이 10% 감소해도 기대수명은 약 1.293년, 즉 단순 추정치의 0.17배밖에 늘지 않는다.

이는 본질적으로 Keyfitz가 1977년 논문 “What Difference Would It Make if Cancer Were Eradicated?”에서 한 관찰이다. 암은 사망의 18%를 차지하므로, 이를 박멸하면 수명이 18%, 즉 약 13.6년 늘어난다는 뜻일까? 아니라고 Keyfitz는 말한다. 고작 2.3년이다.

만약 암 치료법이 발견되어 오늘 당장 보급된다면, 내년에 35만 건의 암 사망이 피할 수 있을 것이다. 전체 사망률은 거의 18% 낮아질 것이다. 치료법이 빠르고 저렴하다면, 전국 병원 병상과 의료 인력의 상당 부분이 다른 질환 치료에 투입될 수 있을 것이다. 환자들은 말로 다 할 수 없는 고통에서 벗어날 것이다. 이러한 암묵적인 분석이 암 박멸을 위한 정부 제안의 기저에 깔려 있다. 이 논증은 사망률에 대한 단기 효과로는 타당하지만 장기적으로는 완전히 오해의 소지가 있다.

단기 효과는 곧 암 이외의 다른 질병으로 인한 더 많은 사망으로 상쇄될 것이다. 암이 치료된 결과 인구에는 다른 원인으로 사망할 위험에 처한 사람들의 비율이 더 높아질 것이다. […]

극단적으로 말하면, 어차피 누구나 언젠가는 무엇인가로 죽으므로, 암 박멸의 효과가 안정화되면 이전과 같은 수의 사망이 발생하고 유일한 이득은 암 대신 심장병 등으로 죽게 되는 것뿐이라고 할 수도 있다. 암 치료법은 사람들에게 심장병으로 죽을 기회를 주는 효과밖에 없을 것이다.

유쾌한 얘기다! 우리는 근사식을 기본 기대수명을 이용해 다음과 같이 쓸 수도 있다

  ΔL ≈ ΔHR × 0.17 × 75.8년,

이는 12.93년이 단순히 기본 기대수명을 이용한 추정치의 0.17배에 불과하다는 것을 명시적으로 보여준다. 0.17이라는 할인 계수는 때때로 ‘Keyfitz 엔트로피’라고 불린다. 이는 어떤 인구가 75세부터 6개 중 2개의 총알이 든 러시안룰렛을 하는 경우(할인 계수가 0을 약간 웃도는 경우)와 태어날 때부터 54,786개 중 2개의 총알이 든 러시안룰렛을 하는 경우(할인 계수가 1.0인 경우) 중 어디에 더 가까운지를 재는 척도로 생각할 수 있다. 오늘날 부유한 국가에서는 보통 0.15 정도이며, 역사적으로는 훨씬 더 높았다.

Keyfitz 엔트로피는 쥐 같은 다른 종에서는 훨씬 더 높다(아마 0.45 정도). 이는 왜 쥐의 수명을 늘리는 어떤 것도 인간에게는 통하지 않는지를 설명할 수도 있다. 열량 제한 같은 것이 쥐와 인간에게 같은 일정한 위험비를 만든다고 하자. 그러면 기대수명의 증가율이 인간에서 세 배 더 작을 것이 수학적으로 보장된다. Keyfitz 엔트로피가 인간에서 세 배 더 작기 때문이다. 기본 사망률 분포가 더 압축되어 있을 때는 기대수명을 늘리기가 더 어렵다.⁷

하지만 이 모든 건 위험비가 모든 연령에서 동일하다고 가정한 것이다. 분명 그렇지 않다.

흥미로운 경우

다시 한번, 연령 t에서의 사망 위험을 HR(t)배만큼 바꾸는 조치를 취했을 때의 기대수명 변화 공식은 다음과 같다:

  ΔL ≈ ∑ₜ ΔHR(t) × P(t) × L(t),

기본적으로 각 연령 t마다 세 숫자를 곱한다:

1. ΔHR(t)는 당신이 만든 어떤 중재(예를 들어 식이섬유를 더 먹는 것)로 인해 연령 t에서 사망할 확률이 감소한 정도다. 이는 위험 감소가 클수록 기대수명 증가도 커진다는 것을 반영한다.
2. P(t)는 연령 t에서 사망할 기본 확률이다. 이는 위험비가 비율이므로 기본 사망률이 높은 연령에 그 비율을 적용할 때 더 많은 사망을 막는다는 것을 반영한다.
3. L(t)는 연령 t에서의 조건부 기대수명이다. 이는 어릴 때 죽으면 더 많은 삶의 연수를 놓치게 된다는 것을 반영한다.

이제 주목하라: 연령 t에서의 변화 ΔHR(t)가 미치는 영향은 기본 사망 위험 P(t)와 잔여 기대수명 L(t)의 곱이다. 그래서 정말 중요한 것은 그 곱인 P(t) × L(t)다:

이는 위험비 변화에 대해 기대수명이 연령별로 얼마나 민감한지를 보여준다. 이 값이 일정하면 좋을 텐데. 그렇다면 HR(t)의 모양은 전혀 중요하지 않고 평균값만 중요할 것이다. 완전히 그렇지는 않지만, 그렇다고 엄청나게 다른 것도 아니다.

우리의 기대수명 변화식을 동등하게 쓰는 또 다른 방법은 다음과 같다

  ΔL ≈ avg(ΔHR) × L̄,

여기서 L̄은 여전히 ‘사망 시점의’ 평균 기대수명(미국 남성 기준 12.93년)이고 avg(ΔHR)은 연령별 P(t) × L(t) 민감도 곡선으로 가중된 위험 변화의 평균이다.⁸ 그 민감도 곡선이 일정하지는 않지만, 그렇다고 너무 굴곡진 것도 아니다. 직관적으로, 이 곡선은 50세에서 90세 사이의 연령에 큰 가중치를, 20세에서 50세 사이에 다소 적은 가중치를, 나머지 연령에는 작은 가중치를 준다.⁹

그리 나쁘지 않다. 하지만 원래 문제를 기억해 보자: 논문에서 HR = 0.90 같은 숫자를 보고 이를 기대수명 변화로 바꾸고 싶다는 것이다. 진짜 기저 위험비가 일정하다면 문제가 없다. 하지만 일정하지 않다면, 그 HR = 0.90이라는 숫자는 도대체 무슨 의미일까?

논문에 나오는 숫자들

안타깝게도 기저의 시간 의존적 HR(t)를 거의 볼 수 없다. 이를 추정할 데이터가 거의 충분하지 않기 때문이다. 그래서 가중평균 avg(ΔHR)를 계산하는 것은 거의 불가능하다. 실제로 당신이 가진 건 아마 논문 속 단일 숫자일 것이다. 그 숫자를 est(HR)라고 부르자. 당연한 방법은 그 변화를 위 식의 avg(ΔHR) 자리에 넣어 기대수명 변화를 다음과 같이 근사하는 것이다

  ΔL ≈ est(ΔHR) × L̄.

다시 말하지만, est(ΔHR) = 1-est(HR)를 추정된 위험 감소분이라고 생각하면 된다. 다만, 로그에 익숙하다면 로그를 쓰는 게 낫다.¹⁰ 그래서 문제는: 이게 정확할까? est(ΔHR)와 avg(ΔHR)는 얼마나 가까운가?

그렇다면 논문에서 그런 스칼라 위험비 숫자는 실제로 어떻게 추정될까? 어떻게든 서로 다른 연령에서의 위험도에 대한 정보를 하나의 숫자로 합치고 있는 것이다. 하지만 어떻게? 음, 꽤 복잡하다. 하지만 데이터가 많다면 추정된 스칼라 위험비는 대략 다음과 같음을 보일 수 있다¹¹

  est(HR) ≈ Πₜ HR(t)ᵖ⁽ᵗ⁾.

(끔찍한 조판을 용서해 달라.) 즉, 추정된 위험비는 연령별 위험비를 각 연령에서 사망할 확률로 가중하여 기하평균한 것이다. 따라서¹² 추정된 변화는 대략 다음과 같다

  est(ΔHR) ≈ ∑ₜ P(t) ΔHR(t).

그래서 이상적으로는 avg(ΔHR)를 이용해 기대수명을 추정하고 싶다. 이는 변화 ΔHR(t)를 가중치 P(t) × L(t)를 기준으로 평균낸 것이다. 하지만 우리는 ΔHR(t) 숫자들에 접근할 수 없으므로 그렇게 할 수 없다. 우리가 할 수 있는 것은 논문에서 위험비 숫자를 읽어 est(HR)라 부르고 변화량 est(ΔHR)를 계산하는 것이다. 위 식은 그렇게 하면 ΔHR(t) 변화들을 가중치 P(t) 하나만으로 (근사적으로) 암묵적으로 평균내고 있다는 뜻이다.

‘올바른’ 가중치인 avg(ΔHR)가 사용하는 가중치와 ‘잘못된’ 가중치인 est(ΔHR)가 암묵적으로 사용하는 가중치는 같지 않다. 하지만 그렇다고 엄청나게 다른 것도 아니다. 여기 avg(ΔHR)를 계산하고 기대수명 변화를 정확히 추정하기 위해 우리가 쓰고 싶은 가중치인 P(t) × L(t)가 있다:

그리고 여기 논문에서 나온 위험비 숫자를 가져와 est(ΔHR)를 계산할 때 당신이 암묵적으로 사용하는 가중치인 P(t)가 있다:

둘은 다르다. 특히 후자의 가중치는 80–95세 사람들에게 더 큰 가중치를 주고 20–50세 사람들에게는 더 작은 가중치를 준다. 하지만 그렇다고 엄청나게 다르지는 않다.

수학은 이쯤 하고, 직접 시험해 보자

시작으로, 모든 연령에서 위험을 HR(t)=0.9만큼 낮추는 어떤 중재를 상상해 보자.

결과는 다음과 같다:

여기서 무슨 일이 일어나고 있는지 설명하겠다. 나는 생명표 데이터를 이용해 미국 남성이 다양한 연령에서 사망할 확률을 가져오는 시뮬레이터를 만들었다. 이를 통해 기대수명 L을 계산하는 것은 단순한 스프레드시트 계산이다.¹³ 그런 다음 각 연령에서의 사망 확률을 바꾸는 위험비를 적용하고, 시뮬레이터를 다시 돌려 새로운 기대수명 L’과 정확한 차이 ΔL을 계산했다. 그런 다음 ΔL의 두 가지 근사를 보여준다: 첫 번째는 avg(ΔHR)를 이용한 ‘이상적인 근사’로, 내 수학이 맞다는 것을 보여주기 위해 넣은 것이다. 마지막으로 Cox 비례위험 모델을 실제로 적합해 얻은 숫자를 est(ΔHR)에 넣어 얻은 근사를 보여준다. 이는 논문에서 숫자를 가져와 대입했을 때 얻게 될 값에 해당한다.

그래서 위의 일정한 위험비 HR = 0.90에서는 두 근사 모두 매우 정확하다. 다른 상수로 바꿔도 마찬가지다.

위험비가 변하면 어떨까? 처음에는 이런 경우가 매우 문제가 될 것 같아 보일 수도 있다:

하지만 기본적으로 괜찮다:

이게 괜찮은 이유는 위험비의 변화가 비교적 ‘고주파’여서 국소적으로 평균화되기 때문이다. 이를 보여주기 위해 각 1년 구간마다 위험비를 무작위로 선택한다고 가정해 보자:

그러면 근사는 훨씬 더 좋아진다:

문제를 일으키는 것은 위험비가 젊은 층과 고령층 사이에서 체계적으로 변할 때다. 예를 들어, 중재가 신생아에게는 쓸모없지만 나이가 들수록 점차 더 도움이 된다고 가정해 보자:

내 ‘이상적인 근사’는 여전히 꽤 정확할 것이다. (현실에서는 계산할 수 없지만.) 하지만 논문에서 나온 숫자를 사용하면 과대추정하게 된다:

이는 est(ΔHR)가 고령층에 치우친 P(t)로 암묵적으로 가중되는 반면, 우리가 쓰고 싶은 avg(ΔHR)는 고령층에 다소 덜 치우친 P(t) × L(t)로 가중되기 때문에 발생한다. 그래도 오차는 그리 크지 않다.

이제 논문에서 가져온 위험비를 대입하면 기대수명을 엄청나게 부정확하게 추정할 수도 있다. 그런 시나리오 중 하나는 85–95세 사람에게는 효과가 대단하지만 다른 사람에게는 아무 효과가 없는 중재일 것이다:

이제 위험비는 est(ΔHR)가 가장 큰 가중치를 갖는 바로 그 연령대에서 좋아 보이므로, 기대수명에 미치는 영향을 크게 과대평가하게 된다:

또 다른 최악의 경우는 처음에는 해롭다가 고령에서는 도움이 되는 중재다:

이제 논문에서 나온 숫자를 사용해도 부호조차 맞지 않는 추정치를 얻게 된다.

끔찍하다. 하지만 대부분의 중재는 아마 그렇지 않을 거라고 생각한다? 내 추측으로는 대부분의 실제 중재는 나이에 따라 다소 변하지만, 그 변화는 점진적이고 부호가 바뀌지는 않는다는 것이다. 그런 경우 논문에서 나온 숫자를 대입한 값이 30% 이상 빗나가는 경우를 찾기가 꽤 어렵다. 믿기지 않는다면 직접 시험해 보라.¹⁴

요약

우리가 다른 종이었다면 위험비에서 기대수명 변화로 바꾸는 것이 매우 어려웠을지도 모른다. 하지만 부유한 국가의 현대인에게는 세 가지 행운의 일치가 있다:

1. 사망 위험이 하필이면 서로 다른 연령에서의 위험비의 단순 가중합으로 기대수명 변화를 근사할 수 있고, 상호작용은 무시해도 되도록 분포되어 있다.
2. 사람들이 스칼라 위험비를 추정하는 데 사용하는 통계적 방법이 역시 서로 다른 연령에서의 위험비의 가중합으로 근사될 수 있고, 상호작용은 무시해도 된다.
3. 기대수명을 추정하는 데 필요한 가중치(#1에서)와 위험비 숫자를 계산하는 데 암묵적으로 사용되는 가중치(#2)는 같지 않다. 하지만 꽤 가깝다.

이러한 사실들 덕분에 논문에서 추정된 위험비 숫자 HR을 가져와 기대수명 변화를 ΔL ≈ ln(1/HR) × 12.93년으로, 혹은 위험비가 1에 가깝고 로그가 싫다면 ΔL ≈ (1-HR) × 12.93년으로 근사하는 것이 정당화된다.

12.93년이라는 숫자는 미국 남성 기준이다. 이는 Keyfitz 엔트로피(0.17)와 기본 기대수명(75.8년)의 곱이다. 다른 인구 집단에서는 조금씩 다를 것이다.

진짜 기저 위험비가:

• …모든 연령에서 일정하다면, 위 근사는 매우 정확할 것이다.
• …나이가 들수록 감소하면, 그 근사는 ΔL을 과대평가할 것이다. 즉, 도움이 되는 중재를 실제보다 더 좋아 보이게 하고, 해로운 중재를 실제보다 덜 나빠 보이게 할 것이다.
• …나이가 들수록 증가하면, 그 근사는 ΔL을 과소평가할 것이다. 즉, 도움이 되는 중재를 실제보다 덜 좋아 보이게 하고, 해로운 중재를 실제보다 더 나빠 보이게 할 것이다.

하지만 진짜 기저 위험비가 너무 말도 안 되게 변하지 않는 한, 어느 쪽으로든 오차는 아마 30% 정도를 넘지 않을 것이다.

마지막으로 두 가지 중요한 주의사항: 첫째, 위 논의는 위험비가 모든 연령대의 사람들을 대상으로 한 시험을 통해 추정되었다고 가정한다. 일반적으로 est(ΔHR)는 시험의 기본 인구에서 각 연령에 사망이 발생하는 수에 비례하여 서로 다른 연령에 가중치를 암묵적으로 부여한다. 최소 연령이 예를 들어 50세라면, 어차피 P(t)의 대부분이 50세 이상에 있으므로 크게 달라지지 않을 것이다. 하지만 최소 연령이 70세이거나 최대 연령이 50세라면, 보지 못한 연령대에서 진짜 위험비가 다르다면 큰 차이를 만들 수 있다.

둘째, 이들은 인구 전체의 기대수명에 대한 추정치다. 하지만 당신은 인구가 아니다. 어떤 의미에서 당신의 유전과 생활 습관은 당신이 수백만 번의 무작위 삶을 산다면 당신의 사망률이 얼마나 퍼져 있을지를 반영하는 당신만의 ‘개인적 Keyfitz 엔트로피’를 가진다는 뜻이다. 안전하게 운전하고 공기청정기를 쓰고 잘 먹고 운동하고 흡연하지 않는다면, 아마도 당신의 개인적 기대수명은 평균보다 높을 것이다. 하지만 그것은 아마도 당신의 개인적 Keyfitz 엔트로피가 평균보다 낮다는 뜻이기도 하다.¹⁵ 그래서 식이섬유를 더 먹는 등으로 생활 습관을 더 개선하더라도, 설령 그것이 다른 사람들과 같은 위험비를 만든다 해도 기대수명 증가는 더 작을 가능성이 높다. 같은 위험비가 쥐보다 인간에게서 수명 변화를 더 작게 만드는 것과 같은 이유 때문이다. 우리가 정말로 필요한 것은 이러한 근사 뒤의 수학을 깨뜨리고 우리를 Keyfitz의 폭정에서 해방시킬 만큼 강력한 중재들이다.