コロナ禍で有名になったあるグラフがあるのですが、いつも探すのに苦労します。S字カーブの渦中にいる間は、そのカーブを推定するのがいかに難しいかを示したものです。初期にはすべてが指数関数的に爆発しているように見え、必ず「お前らは指数関数というものをわかっていない、まったく愚かだな、説明してやろう」といった煽り気味のエッセイが出てきます。そして見えない漸近線にぶつかった途端、バズるエッセイを書いていたあの声の大きい人たちは、なぜかこっそりと別の話題へ移ってしまうのです。

とにかく、次のツイート画像だけでは到底伝わらないので、動画版を見ることをおすすめします。https://vimeo.com/408599958 または https://x.com/clcrozier/status/1251148890595708938

著者はコンスタンス・クロジャーで、彼女はこれに合わせたブログ記事を書いていました。全文をGoogleのクローラー向けにここに転載しておきます。

S字カーブの予測は難しい

S字カーブ（シグモイド関数）は、社会や生物のシステムが時間とともにどのように推移するかをモデル化するのによく使われる[1]。この関数は最初は指数関数的に成長し、次に線形に増加し、最後には横ばいになる（そのため歪んだS字のような形になる）。私たちが指数関数的だと思っているものの多くは、実際にはS字カーブに従う（そうでなければシステムは無限大に発散してしまう）。有名な例の一つが新技術の普及だ。下のグラフは、米国でスマートフォンを所有する成人の割合の推移を示したもので、最もよく当てはまるS字カーブが重ねられている。この場合、指数関数的な成長が起こるのは、宣伝や供給が順次展開されていくためだ。しかし潜在的な消費者の数は限られており（中には決してスマートフォンを持たない人もいる）、そのため成長は徐々にゼロへと鈍化していく。

米国におけるスマートフォン所有率 [2]

もう一つの例、そしてこれらのカーブが再びニュースで話題になった理由が、感染症の伝播だ。この場合、指数関数的な成長はウイルスが新しく、ウイルスに遭遇したほとんどの人がまだ免疫を獲得していないときに起こる。横ばいになるのは、ウイルスがもはや免疫を持たない人に出会わなくなるからだ（「集団免疫」によるか、感染者の隔離による）。下のグラフは2003年のSARS流行における中国での死者数を示したもので、こちらも最もよく当てはまるS字カーブが重ねられている。

中国におけるSARSによる死者数 [3]

S字カーブのパラメータは3つしかないのに、これほど多様なシステムにうまく当てはまるのは驚くべきことかもしれない。大まかに言えば、3つのパラメータは初期の成長率、横ばいになるペース、そして横ばいになる値（到達点）を表す。したがって、この3つの数値を推定できれば、トレンドの曲線が決まることになる。学校で、3つの未知パラメータを求めるには3つのデータ点が必要だと習った人も多いだろう。そう考えると、たった3つの観測から横ばいになる点を完璧に予測できそうに思える（ネタバレ：できない）。

実際には、データの全体的な傾向は何らかのS字カーブに当てはまる可能性が高いと言えても、個々の点がすべてその線上に乗るわけではない。これは先の2つの例のどちらにも見て取れる。このズレはしばしば「モデル誤差」と呼ばれ、データの測定誤差と、S字カーブというモデル自体が根本的に間違っていることの両方を含んでいる。ジョージ・ボックスの言葉を借りれば、「すべてのモデルは間違っているが、役に立つものもある」。

直感的に考えても、初期のデータからカーブを予測できないのは当然に思える。予測できると仮定することは、結果に対して私たちが何も影響を与えられないと信じることになるからだ。しかし私の経験では、「直感」と「数学」を一致させるのはしばしば難しい。そこで、データが増えるにつれて「最もよく当てはまるS字カーブ」がどれだけ変化するかを調べてみることにした。下にランダムに選んだS字カーブを示す。プロットされている点は「ノイズの乗った観測値」だ。これは数学っぽく言えば「カーブ上の点にランダムな誤差を加えたもの」ということだ。

この場合、S字カーブのモデルは完全に適合する。文字通り、S字カーブからデータを生成したからだ。つまり誤差がゼロであれば、3つの点だけでカーブを特定できるということになる。言いたいのは、この例は理想的なケースだということだ。現実には、ここまでデータにぴったり合うカーブはまず存在しない。下のアニメーションは、データが増えていくにつれて、最適なS字カーブ（最小二乗法による最適化で求めたもの）がどのように変化するかを示している。

指数関数的な成長の段階で推定がひどく外れるのは驚くことではないかもしれないが、直線的な増加の段階に入っても（40点以上のデータがあっても）、まだ正しいカーブは見つかっていない。実際、正しいS字カーブが見つかるのは、データが横ばいになり始めてからなのだ。これは特に厄介だ。なぜなら、自分がカーブのどの部分にいるのかを判断するのがそもそもかなり難しいからだ。後から振り返れば何でもわかるのだ。

これはS字カーブのモデル化や予測が不可能だと言っているわけではない。ただ、モデル化しようとしているシステムについての文脈的な情報がおそらく必要だということだ。生物学的なシステムであれば、初期の成長率を支配する物理的なパラメータはあるだろうか。技術的な変化であれば、最終的に横ばいになる水準を合理的に推定できるだろうか。こうした情報は適用分野ごとに異なる。言い換えれば、私のようなデータ好きは、モデリングは専門家に任せるべきだということだ。

参考文献

[1] Nieto et. al, “Performance analysis of technology using the S curve model: the case for digital signal procession technologies” 1998.

[2] Comscore Whitepaper: ‘The 2016 U.S. Mobile App Report”, September 13, 2016

[3] World Health Organisation https://www.who.int/csr/sars/country/en/

私は4年前に https://www.latent.space/p/ok-foomer でこれに言及し、最近 https://www.latent.space/p/wtf2025 のために探したときにもまた見つけるのに苦労した。スリーストライクのルールに従い、そろそろブログに書いておくべき時だと思った。特に今は彼女のウェブサイトが読み込めなくなっているので。